SEIAR模型

1 概述

1.1 模型假设

• 人群分为五类：易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、无症状感染者（A） 和 康复者（R）。
• 易感者（S）：未被感染并具有易感性，被感染者接触后会变成暴露者。
• 暴露者（E）：已被感染但尚未具有传染性。
• 感染者（I）：被感染并具有传染性。
• 无症状感染者（A）：被感染但无症状，具有较低传染性。
• 每单位时间内，暴露者以速率$\omega$转为感染者或无症状感染者。
• 感染者以速率$\gamma_I $康复，无症状感染者以速率$\gamma_A$康复。
• 感染者的传播能力为$\beta$,无症状感染者的传播能力为$k\beta$。
• 总人口$N$恒定，无出生或死亡。

1.2 模型描述

SEIAR 模型扩展了经典的 SIR 模型，通过增加暴露者和无症状感染者的状态，更贴近现实中传染病传播的特点。模型能有效模拟传染病潜伏期和无症状传播对疫情的影响。

1.3 模型仓室及参数含义

表 1: 仓室及其含义

表 2: 参数及其含义

2 模型流程图及方程

2.1 模型流程图

以下是SEIAR模型的流程图，展示了易感者、感染者和恢复者之间的转化过程：

图 1: SEIAR 模型流程图

2.2 模型方程

SEIAR 模型由以下常微分方程组描述： $$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = - \beta \cdot \frac{I + k \cdot A}{N} \cdot S \\
\frac{dE}{dt} = \beta \cdot \frac{I + k \cdot A}{N} \cdot S - p \cdot \omega \cdot E - (1 - p) \cdot \omega \cdot E \\
\frac{dI}{dt} = (1 - p) \cdot \omega \cdot E - \gamma \cdot I \\
\frac{dA}{dt} = p \cdot \omega \cdot E - \gamma_1 \cdot A \\
\frac{dR}{dt} = \gamma_1 \cdot A + \gamma \cdot I \end{cases}$$

3 适用疾病流行条件

• 有潜伏期：SEIAR 模型适用于具有潜伏期的传染病，例如:流行性腮腺炎、猴痘等。
• 无症状传播：模型中包含无症状感染者的状态，适用于无症状或低症状传染病的传播模拟。
• 特定疾病的短期模拟：人体感染部分传染病后产生的抗体在短期内持续存在，SEIAR 模型适用于这些传染病的短期模拟，例如:COVID-19、流感等。
• 均匀混合：人群中的接触是随机且均匀分布的，没有空间或社会网络结构的影响。

4 代码（Matlab）

4.1 条件设定

• 初始条件：
  • 总人口数 ( $N$ = 220000 )（单位：人）
  • 初始感染者 ( $I_0 $= 1 )（单位：人）
  • 初始无症状感染者 ( $A_0$ = 0 )
  • 初始暴露者 ( $E_0$ = 0 )
  • 初始康复者 ( $R_0$ = 0 )
  • 初始易感者 ( $S_0 = N - I_0 - A_0 - E_0 - R_0$ )
• 参数设置：
  • 传播率 ( $\beta$ = 0.7 )
  • 暴露者转化速率 ( $\omega$ = 0.53)（单位：1/天）
  • 感染者康复率 ( $\gamma$ = 0.33 )（单位：1/天）
  • 无症状感染者康复率 ( $\gamma_1$ = 0.25 )（单位：1/天）
  • 有症状概率 ( $p$ = 0.333 )
  • 无症状传播能力系数 ( $k $= 0.5 )（单位：1/天）
• 时间设置：
  • 模拟天数：150天

4.2 代码

% 清除所有图像、变量和命令窗口
close all; clear; clc;

% 定义模型参数
params.tSpan = [0, 149] + 0.5; % 模拟时间范围为0.5天到149.5天，总计150天
params.k = 0.50; % 无症状患者传播能力系数，相较于有症状患者
params.omega = 0.53; % 有症状患者的潜伏期倒数 (1/潜伏期)
params.p = 0.333; % 无症状患者的比例
params.gamma = 0.33; % 有症状患者的传染期倒数 (1/传染期)
params.gamma1 = 0.25; % 无症状患者的传染期倒数 (1/传染期)

% 设置基本传播率 beta 和初始条件
beta = 0.7; % 基本传播系数 (传染率)
E0 = 0; % 初始潜伏者人数
I0 = 1; % 初始有症状感染者人数
A0 = 0; % 初始无症状感染者人数
R0 = 0; % 初始康复人数
population = 220000; % 总人口数

% 初始化易感者人数 S0
S0 = population - E0 - I0 - A0; % 易感者人数为总人口减去其他状态人群总和
params.initialStates = [S0; E0; I0; A0; R0]; % 初始状态向量 [S, E, I, A, R]

% 定义微分方程
dxdt = @(t, x) computeDerivative(beta, params, t, x); % 使用匿名函数封装微分方程

% 使用ODE45求解微分方程
[tt, xPredicted] = ode45(dxdt, params.tSpan, params.initialStates); % 调用ODE45进行数值求解

% 计算每日新增病例数
yPredicted = (1 - params.p) * params.omega * xPredicted(:, 2); % 每日新增病例数 = (1 - p) * omega * E

% 创建绘图
fig = figure; % 创建图像窗口
fig.Position = [248.2, 291.4, 1374.4, 584]; % 设置窗口大小和位置
tiledlayout(1, 2); % 创建1行2列的布局

% 绘制S, E, I, A, R状态变量随时间的变化曲线
nexttile;
plot(tt, xPredicted);
legend('S', 'E', 'I', 'A', 'R'); % 添加图例

% 绘制每日新增病例数随时间的变化曲线
nexttile;
plot(tt, yPredicted);
legend('每日新增病例数'); % 添加图例

% 导出图像为高分辨率图片
exportgraphics(fig, 'SEIAR及每日新增病例图.png', 'Resolution', 300); % 保存图片到文件

%% 微分方程函数
function dxdt = computeDerivative(beta, params, t, x)
    % 提取状态变量
    S = x(1); % 易感者人数
    E = x(2); % 潜伏者人数
    I = x(3); % 有症状感染者人数
    A = x(4); % 无症状感染者人数
    R = x(5); % 康复人数

    % 总人口数 (用于归一化传播率)
    N = S + E + I + A + R;

    % 计算交互传播项
    interactionTerm = beta * (I + params.k * A) / N; % 考虑有症状和无症状患者的传播能力

    % 计算各状态变量的微分
    dSdt = -interactionTerm * S; % 易感者人数的变化速率
    dEdt = interactionTerm * S - params.p * params.omega * E - (1 - params.p) * params.omega * E; % 潜伏者人数的变化速率
    dIdt = (1 - params.p) * params.omega * E - params.gamma * I; % 有症状感染者人数的变化速率
    dAdt = params.p * params.omega * E - params.gamma1 * A; % 无症状感染者人数的变化速率
    dRdt = params.gamma1 * A + params.gamma * I; % 康复者人数的变化速率

    % 返回状态变量的变化速率
    dxdt = [dSdt; dEdt; dIdt; dAdt; dRdt];
end

4.3 结果

运行以上代码后，可以观察到以下趋势：

• 易感者(S)：随着时间推移逐渐减少，因为被感染者感染。
• 暴露者(E)：在初期快速增加，随后随着潜伏期结束而逐渐减少。
• 感染者(I)：在初期逐渐增加，随后达到峰值并开始下降。
• 无症状感染者(A)：在一定时间后增加，随后逐渐减少。
• 康复者(R)：随着时间推移逐渐增加，因为感染者逐渐流入。
• 易感人群的数量逐渐减少并趋于平稳，说明大多数人已经被感染、隔离或者转为免疫状态。剩余的易感人群数量不会再大幅下降，表示传播基本结束。

以下是模拟结果的可视化图表展示：

图 2: SEIAR及每日新增病例图

5 扩展（保证仓室不变）

5.1 加入隔离措施

通过在模拟过程中降低传播率 ($ \beta$ )，可以模拟隔离措施的效果。例如：

• 在 ( t = 50 ) 天时，将 ($ \beta$ ) 从 0.7 降低到 0.5。
• 这一措施会显著降低感染人数，控制疫情扩散。

模型中的体现：

可以在微分方程中引入时间依赖的传播率 ( $\beta(t) $)，例如： $$\beta(t) = \begin{cases} 0.7, & t < 50 \\
0.5, & t \geq 50 \end{cases}$$

5.2 加入疫苗接种

通过直接减少易感者人数 ( S )，并增加恢复者人数 ( R )，模拟大规模疫苗接种的效果。例如，假设在第 60 天接种疫苗覆盖了 40% 的总人口，则：

$$S = S - 0.4 \cdot N, \quad R = R + 0.4 \cdot N$$

注：以上扩展均在仓室设置 $( S, E, I, A, R )$ 不变的前提下进行。