SVEIR模型

1 概述

1.1 模型假设

• 人群分为六类：易感者（$S$）、接种疫苗者（$ V_s$）、疫苗生效者（$ V_r$）、暴露者（$E $）、**感染者（$ I$）**和 康复者（$R$）。
• 暴露者（$ E $）：已被感染但尚未具有传染性。
• 感染者（$ I $）：被感染并具有传染性。
• 疫苗接种者（$ V_s$）：接种疫苗的人群，但抗体还未产生，仍可能被感染。
• 疫苗生效者（$ V_r $）：接种疫苗并经过抗体生成期，产生了抗体的人群，不会被感染。
• 易感者（$ S $）：未被感染并具有易感性，被感染者接触后会变成暴露者，也会因为接种疫苗而进入接种疫苗者。
• 每单位时间内，暴露者以速率( $\omega$ ) 转为感染者。
• 感染者以速率 ( $\gamma$ ) 康复。
• 易感者以( $\phi$ )的速率转为接种疫苗者，接种疫苗者以( f )的速率转变为疫苗生效者。
• 感染者的传播能力为( $\beta$ )。
• 总人口 ( $N$ ) 恒定，无出生或死亡。

1.2 模型描述

SVEIR 模型扩展了经典的 SIR 模型，通过增加暴露者和疫苗接种者的状态，更贴合现实中添加疫苗措施的情况。模型能有效模拟传染病潜伏期和康复期对疫情的影响。

1.3 模型仓室及参数含义

表 1: 仓室及其含义

表 2: 参数及其含义

2 模型流程图及方程

2.1 模型流程图

以下是SVEIR模型的流程图，展示了易感者、接种疫苗者、感染者和恢复者之间的转化过程：

图 1: SVEIR模型流程图

2.2 模型方程

SVEIR 模型由以下常微分方程组描述：

$$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = - \phi S - \beta \cdot \frac{I}{N} \cdot S \\
\frac{dE}{dt} = \beta \cdot \frac{I}{N} \cdot S + q \cdot \beta \cdot \frac{I}{N} \cdot V_s - \omega \cdot E \\
\frac{dI}{dt} = \omega \cdot E - \gamma \cdot I \\
\frac{dR}{dt} = \gamma \cdot I \\
\frac{dV_s}{dt} = \phi S - f \cdot V_s - q \cdot \beta \cdot \frac{I}{N} \cdot V_s \\
\frac{dV_r}{dt} = f \cdot V_s \end{cases}$$

3 适用疾病流行条件

• 有潜伏期：SVEIR 模型适用于具有潜伏期的传染病，例如：麻疹、猴痘等。
• 特定疾病的短期模拟：人体感染部分传染病后产生的抗体在短期内持续存在，SVEIR 模型适用于这些传染病的短期模拟。
• 接种疫苗影响：模型中包含了疫苗接种人群的状态，可用于研究疫苗接种对疾病流行的影响。
• 均匀混合：人群中的接触是随机且均匀分布的，没有空间或社会网络结构的影响。

4 代码（Matlab）

4.1 条件设定

• 初始条件：
  • 总人口数 ( $N$ = 220000 )（单位：人）
  • 初始感染者 ( $I_0$ = 1 )（单位：人）
  • 初始暴露者 ( $E_0$ = 0 )
  • 初始康复者 ( $R_0$ = 0 )
  • 初始疫苗接种者 ( $V_s0$ = 0 )
  • 初始疫苗生效者 ( $V_r0$ = 0 )
  • 初始易感者 ( $S_0 = N - I_0 - E_0 - R_0 - V_s0 - V_r0$ )
• 参数设置：
  • 传播率 ( $\beta$ = 0.3 )
  • 暴露者转化速率 ( $\omega$ = 0.111 )（单位：1/天）
  • 感染者康复率 ( $\gamma$ = 0.05 )（单位：1/天）
  • 抗体产生系数 ($ f$ = 0.2 )（单位：1/天）
  • 疫苗接种速率 ( $\phi$ = 总接种人数/人口数/天数 )
  • 接种疫苗未产生抗体者的比例 ( $q$ = 0.2 )
• 时间设置：
  • 模拟天数：360天

4.2 代码

close all; clear; clc;

% 模型参数设置
params.tSpan = [0, 359] + 0.5; % 模拟时间范围（360天），从第0.5天开始到第359.5天
params.omega = 0.111; % 潜伏期结束速率（单位：1/天，即潜伏者转为感染者的速率）
params.gamma = 0.05; % 传染期结束速率（单位：1/天，即感染者康复的速率）
params.f = 0.2; % 疫苗接种后产生抗体的速率（单位：1/天）
params.q = 0.2; % 接种疫苗但未产生抗体的比例

beta = 0.3; % 人均接触传播率

% 假设疫苗接种数据
Vacdata = [4730; 4896; 2038; 34394; 36182; 42410; 58666; 87193; 12246; 3263; 87577; 63686; 52780; 45617;
    2310; 2691; 746; 1416; 2169; 2553; 2448; 5674; 67455; 92117; 83533; 67768; 64567; 70476; 100094;
    16106; 5258; 82717; 63992; 59041; 64649; 86073; 12445; 5380; 67880; 51960; 48485; 53048; 66528;
    9287; 3087; 45007; 37920; 34606; 32830; 44738; 7819; 2498; 29398; 24219; 21516; 20931; 25720;
    5684; 2126; 16236; 17610; 16794; 15758; 16340; 4280; 1497; 12379; 12513; 14333; 12205; 12436;
    4187; 1690; 12360; 14280; 12372; 12446; 8593; 3584; 1402; 9517; 11063; 11527; 10827; 9561; 4018;
    1020; 7271; 8041; 5450; 4189; 4000; 923; 440; 3200; 3117; 3301; 3247; 2020; 793; 274; 2217;
    2578; 2348; 3202; 2111; 614; 265; 18; 874; 997; 1177; 598; 239; 159; 773; 1023; 1142; 1009;
    581; 254; 138; 600; 970; 845; 762; 744; 219; 104; 718; 569; 522; 487; 290; 108; 63; 263; 423;
    350; 267; 163; 67; 39; 224; 225; 184; 116; 27; 1; 1; 5]/100; 

% 初始化状态变量
E0 = 0; % 初始潜伏者数量
I0 = 1; % 初始感染者数量
R0 = 0; % 初始康复者数量
population = 220000; % 总人口数

day = numel(Vacdata) + 1; % 疫苗接种数据的天数（加一天表示总天数）
params.fai = sum(Vacdata) / day / population; % 平均每日疫苗接种率（单位：1/天）
Vs0 = 0; % 初始接种疫苗但未产生抗体人数
Vr0 = 0; % 初始接种疫苗并产生抗体人数
S0 = population - E0 - I0 - Vs0 - Vr0; % 初始易感者数量
params.initialStates = [S0; E0; I0; R0; Vs0; Vr0]; % 初始化状态向量

% 定义微分方程并求解
dxdt = @(t, x) computeDerivative(beta, params, t, x); % 定义微分方程函数句柄
[tt, xPredicted] = ode45(dxdt, params.tSpan, params.initialStates); % 使用ODE45求解微分方程
yPredicted = params.omega * xPredicted(:, 2); % 每日新增病例数（潜伏期结束后进入感染期）

% 绘图
fig = figure;
fig.Position = [248.2, 291.4, 1374.4, 584];
tiledlayout(1, 2); % 创建网格布局（1行2列）

% 左侧图：各状态随时间的变化
nexttile;
plot(tt, xPredicted);
legend('S', 'E', 'I', 'R', 'Vs', 'Vr'); % 添加图例
title('SVEIR状态随时间变化');

% 右侧图：每日新增病例数随时间变化
nexttile;
plot(tt, yPredicted);
legend('每日新增病例数');
title('每日新增病例数随时间变化');

% 导出图像为高分辨率PNG文件
exportgraphics(fig, 'SVEIR及每日新增病例图.png', 'Resolution', 300);

%% 微分方程函数
function dxdt = computeDerivative(beta, params, t, x)
    % 提取状态变量
    S = x(1); % 易感者
    E = x(2); % 潜伏者
    I = x(3); % 感染者
    R = x(4); % 康复者
    Vs = x(5); % 接种疫苗未产生抗体者
    Vr = x(6); % 接种疫苗产生抗体者
    N = S + E + I + R + Vs + Vr; % 总人口数（假设不变）

    % 传播项（感染的接触传播速率）
    interactionTerm = beta * I / N;

    % 微分方程
    dSdt = -params.fai * S - interactionTerm * S; % 易感者变化率
    dEdt = interactionTerm * S + params.q * interactionTerm * Vs - params.omega * E; % 潜伏者变化率
    dIdt = params.omega * E - params.gamma * I; % 感染者变化率
    dRdt = params.gamma * I; % 康复者变化率
    dVsdt = params.fai * S - params.f * Vs - params.q * interactionTerm * Vs; % 接种未抗体者变化率
    dVrdt = params.f * Vs; % 接种抗体者变化率

    % 返回结果
    dxdt = [dSdt; dEdt; dIdt; dRdt; dVsdt; dVrdt];
end

4.3 结果

运行以上代码后，可以观察到以下趋势：

• 易感者($S$)：随着时间推移逐渐减少，因为被感染者转化。
• 接种疫苗者($V_s$)：先增加后减少，变化幅度较小。
• 疫苗生效者($V_r$)：逐渐增加，在总人口都被感染后不变。
• 暴露者($E$)：在初期快速增加，随后随着潜伏期结束而逐渐减少。
• 感染者($I$)：在初期逐渐增加，随后达到峰值并开始下降。
• 康复者($R$)：随着时间推移逐渐增加，因为感染者逐渐流入。
• 易感人群的数量逐渐减少并趋于平稳，说明大多数人已经被感染、隔离、接种疫苗或者转为免疫状态。剩余的易感人群数量不会再大幅下降，表示传播基本结束。

以下是模拟结果的可视化图表展示：

图 2: SVEIR及每日新增病例图

5 扩展（保证仓室不变）

5.1 加入隔离措施

通过在模拟过程中降低传播率 ( $\beta$ )，可以模拟隔离措施的效果。例如：

• 在 ( t = 60 ) 天时，将 ( $\beta$ ) 从 0.3 降低到 0.2。
• 这一措施会显著降低感染人数，控制疫情扩散。

模型中的体现：

可以在微分方程中引入时间依赖的传播率 ( $\beta(t)$ )，例如： $$\beta(t) = \begin{cases} 0.3, & t < 60 \
0.2, & t \geq 60 \end{cases}$$

5.2 加入疫苗接种

通过直接减少易感者人数 ( S )，并增加疫苗接种者人数 ( $V_s$ )，模拟大规模疫苗接种的效果。例如，假设在第 60 天接种疫苗覆盖了 40% 的总人口，则：

$$S = S - 0.4 \cdot N, \quad V_s = V_s + 0.4 \cdot N$$

注：以上扩展均在仓室设置 ( S, E, V_s, V_r, I, R ) 不变的前提下进行。