SEIAS模型

1 概述

1.1 模型假设

• 人群分为四类：

  • 易感者（S）：尚未感染病毒但可能被感染的人群。
  • 暴露者（E）：已被感染但尚未具有传染性的人群。
  • 感染者（I）：被感染且具有较高传染性的人群。
  • 无症状感染者（A）：被感染但无症状，具有较低传染性的人群。

• 模型假设和动态特征：

  1. 总人口 N 恒定，无出生或死亡，即 N = S + E + I + A。
  2. 易感者 (S) 通过与感染者 (I) 和无症状感染者 (A) 接触而被感染。
  3. 每单位时间内：
     • 暴露者 (E) 以速率 ω 转为感染者 (I) 或无症状感染者 (A)。
     • 感染者 (I) 以速率 γ_I 退出传染状态，重新回到易感者 (S)。
     • 无症状感染者 (A) 以速率 γ_A 退出传染状态，重新回到易感者 (S)。
  4. 暴露者 (E) 中：
     • 以概率 p 转为感染者 (I)。
     • 以概率 (1 - p) 转为无症状感染者 (A)。
  5. 恢复后的个体因未获得长期免疫力而重新回到易感者状态 (S)。

1.2 模型描述

SEIAS模型将人群分为易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）和无症状感染者（A）。易感者通过与感染者和无症状感染者接触被感染，转化为暴露者；暴露者随后以一定概率转化为感染者或无症状感染者。感染者和无症状感染者在结束传染状态后，重新转为易感者，模型体现了短期免疫或未获得长期免疫的特性，可能导致循环传播。感染者和无症状感染者具有不同的传播能力，且无症状感染者对疫情传播的隐蔽性影响显著。

1.3 模型仓室及参数含义

表 1 SEIAS 模型参数

2 模型流程图及方程

2.1 模型流程图

以下是SEIAS模型的流程图，展示了易感者、感染者和恢复者之间的转化过程：

图 1 SEIAS模型流程图

2.2 模型方程

SEIAS 模型由以下四组微分方程描述：

$$ \begin{cases} \frac{d\mathit{S}}{dt} &= - \beta \cdot \frac{\mathit{S} \cdot (\mathit{I} + \mathit{A})}{\mathit{N}} + \gamma_I \cdot \mathit{I} + \gamma_A \cdot \mathit{A}, \\
\frac{d\mathit{E}}{dt} &= \beta \cdot \frac{\mathit{S} \cdot (\mathit{I} + \mathit{A})}{\mathit{N}} - \omega \cdot \mathit{E}, \\
\frac{d\mathit{I}}{dt} &= p \cdot \omega \cdot \mathit{E} - \gamma_I \cdot \mathit{I}, \\
\frac{d\mathit{A}}{dt} &= (1 - p) \cdot \omega \cdot \mathit{E} - \gamma_A \cdot \mathit{A}. \end{cases} $$

3 适用疾病流行条件

• 有潜伏期：SEIAS 模型适用于具有潜伏期的传染病，例如 COVID-19、SARS 等。
• 无症状传播：模型中包含无症状感染者的状态，适用于无症状或低症状传染病的传播模拟。
• 有限人群：假设人口总数恒定，适合短期内的传播模拟。
• 均匀混合：人群中的接触是随机且均匀分布的，没有空间或社会网络结构的影响。

4 代码（Python）

4.1 条件设定

• 初始条件：
  • 总人口数 N = 21,858,000 (人)
  • 初始感染者 I₀ = 170 (人)
  • 初始无症状感染者 A₀ = 0 (人)
  • 初始暴露者 E₀ = 0 (人)
  • 初始易感者 S₀ = N - I₀ - A₀ - E₀ (人)

• 参数设置：
  • 传播率 β = 1.1 (人/天)
  • 暴露者转化速率 ω = 0.2 (1/天)
  • 感染者康复率 γᵢ = 0.25 (1/天)
  • 无症状感染者康复率 γₐ = 0.2 (1/天)
  • 发病概率 p = 0.5
• 时间设置：
  • 模拟天数：160天

4.2 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.family'] = ['SimHei']  # 或者 'Microsoft YaHei'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# SEIAS模型微分方程
def seias_ode(t, y, N, beta, gamma_I, gamma_A, omega, p):
    S, E, I, A = y  # 易感者、暴露者、感染者和无症状感染者数量
    dS = -beta * S * (I + A) / N + gamma_I * I + gamma_A * A  # 易感者的变化
    dE = beta * S * (I + A) / N - omega * E  # 暴露者的变化
    dI = p * omega * E - gamma_I * I  # 感染者的变化
    dA = (1 - p) * omega * E - gamma_A * A  # 无症状感染者的变化
    return [dS, dE, dI, dA]

# 参数设置
N = 21858000  # 人口
beta = 1.1  # 传播率
gamma_I = 0.25  # 感染者康复率
gamma_A = 0.2  # 无症状康复率
omega = 0.2  # 暴露转感染速率
p = 0.5  # 发病概率
I0 = 170  # 初始感染人数
A0 = 0  # 初始无症状感染人数

# 计算初始的易感者和暴露者数量
S0 = N - I0 - A0
E0 = 0
y0 = [S0, E0, I0, A0]

# 时间点设置
t_start = 0         # 模拟开始天数
t_end = 160         # 模拟结束天数
num_points = 160    # 时间点数量
t_eval = np.linspace(t_start, t_end, num_points)

# 求解微分方程
solution = solve_ivp(
    seias_ode,
    [t_start, t_end],
    y0,
    args=(N, beta, gamma_I, gamma_A, omega, p),
    t_eval=t_eval
)

# 检查求解是否成功
if solution.success:
    S, E, I, A = solution.y
else:
    raise RuntimeError("微分方程求解失败！")

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(solution.t, S, label='易感者 S', color='blue')
plt.plot(solution.t, E, label='暴露者 E', color='orange')
plt.plot(solution.t, I, label='感染者 I', color='red')
plt.plot(solution.t, A, label='无症状感染者 A', color='purple')
plt.title(f'SEIAS 模型模拟结果 (β={beta}, γ_I={gamma_I}, γ_A={gamma_A}, ω={omega}, p={p}, N={N}, I0={I0}, A0={A0})')
plt.xlabel('天数')
plt.ylabel('人数')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

4.3 结果

运行以上代码后，可以观察到以下趋势：

• 易感者（S）：随着时间推移逐渐减少，因为越来越多的人被感染，转化为暴露者或感染者。在后期趋于平稳，说明感染范围趋于稳定。
• 暴露者（E）：在初期快速增加，随后随着潜伏期结束，转化为感染者或无症状感染者，数量逐渐减少。
• 感染者（I）：在初期逐渐增加，随后达到峰值并开始下降。后期逐渐趋于零，说明大部分感染者已退出传染状态。
• 无症状感染者（A）：在一定时间后逐渐增加，随后开始减少。后期的缓慢下降甚至接近平行于坐标轴，说明无症状感染者正在逐渐退出传染状态，传染范围缩小。

在曲线基本平行于坐标轴的部分，表示对应人群数量变化极其缓慢，疫情进入稳定期或衰退期，此时新感染者的出现基本停止，或感染者数量趋近于零。

以下是模拟结果的可视化图表展示：

5 扩展（保证仓室不变）

5.1 加入隔离措施

通过在模拟过程中降低传播率 β，可以模拟隔离措施的效果。例如：

• 在 t = 30 天时，将 β 从 1.1 降低到 0.7。
• 这一措施会显著降低感染人数，控制疫情扩散。

代码实现

可以在微分方程中引入时间依赖的传播率 β(t)，例如：

$$ \beta(t) = \begin{cases} 1.1, & t < 30 \
0.7, & t \geq 30 \end{cases} $$

5.2 动态发病概率

发病概率 p 可以随着时间变化。例如：

• 初始阶段 p = 0.5，但随着病毒变异或医疗干预，可能降低为 p = 0.3。
• 这可以模拟疫苗接种或治疗手段对发病率的影响。

代码实现

发病概率 p(t) 可以用时间相关的函数表示，例如：

$$ p(t) = \begin{cases} 0.5, & t < 50 \
0.3, & t \geq 50 \end{cases} $$

5.3 示例扩展场景

假设一：动态控制疫情传播

在疫情开始后的第 30 天，通过降低传播率 β 模拟实施隔离或封锁的措施。

假设二：疫苗接种引入的影响

通过直接减少易感者人数 S，并增加恢复者人数 R，模拟大规模疫苗接种的效果。例如，假设在第 50 天时易感者中接种疫苗的人数覆盖了 40% 的总人口，则：

$$ S = S - 0.4 \cdot N, \quad R = R + 0.4 \cdot N $$

假设三：季节性变化的传播率

在某些传染病中（如流感），传播率 β 可能具有季节性波动。例如：

$$ \beta(t) = 1.0 + 0.5 \cdot \sin\left(\frac{2\pi t}{365} + \phi\right) $$

其中：

• φ 表示初相位（以弧度为单位），用于调整波动的起点。例如，若初始波动从峰值开始，则取 φ = π/2。
• t 为时间（天）。
• 2π/365 表示一年（365天）为一个完整周期。

这种形式可以模拟因气候变化或人群行为模式变化（如节假日聚集）导致的传播速率波动，同时允许通过初相位 φ 调整传播率波动的具体时间特性。

注：以上扩展均在仓室设置 ( S, E, I, A ) 不变的前提下进行。