SIR模型
1 概述
1.1 模型假设
- 人群可以分为三类：易感者（Susceptible, S）、感染者（Infectious, I）和恢复者（Recovered, R）。
- 感染者以一定的传播率 (β) 使易感者感染。
- 感染者会以一定的康复率 (γ) 恢复，从而转化为恢复者。
- 总人口数 (N) 在整个传播过程中保持不变，不考虑出生、死亡或其他人口变动。
- 恢复者对该疾病产生免疫，不会再次感染。
- 传播均匀，即每个感染者接触的易感者数量相同，符合均匀混合假设。
1.2 模型描述
SIR模型是一种常见的传染病动力学模型，用于模拟疾病在一个固定人群中的传播过程。通过研究易感者、感染者和恢复者人数随时间的变化，可以帮助我们理解疫情传播的规律，并为公共卫生政策提供科学依据。
1.3 模型仓室及参数含义
表 1 SIR 模型参数
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| S | 易感者人数 |
| I | 感染者人数 |
| R | 恢复者人数 |
| N | 总人口数 (N=S+I+RN=S+I+R) |
| β | 传播率，每个感染者在单位时间内感染易感者的概率 |
| γ | 康复率，每个感染者在单位时间内康复的概率 |
| t | 时间 |
| I₀ | 初始感染者人数 |
| R₀ | 初始恢复者人数 |
| S₀ | 初始易感者人数 |
2 模型流程图及方程
2.1 模型流程图
以下是SIR模型的流程图，展示了易感者、感染者和恢复者之间的转化过程：
图 1 SIR模型流程图
2.2 模型方程
SIR模型由以下三组微分方程描述：
易感者变化方程：
$$
\begin{cases}
\frac{dS}{dt} &= - \beta \cdot \frac{S \cdot I}{N}, \\
\frac{dI}{dt} &= \beta \cdot \frac{S \cdot I}{N} - \gamma \cdot I, \\
\frac{dR}{dt} &= \gamma \cdot I.
\end{cases}
$$
3 适用疾病流行条件
SIR模型适用于以下情况的疾病传播模拟：
- 无重复感染：恢复者获得永久免疫，如麻疹、水痘等。
- 短时间内传播：疫情的传播周期较短，不考虑出生、死亡或其他人口流动对人口总数的影响。
- 均匀传播：人群中的接触是随机且均匀分布的，没有显著的空间或社会网络结构影响。
- 没有外部干预：假设没有接种疫苗、治疗或隔离等干预措施。
4 代码（ Python）
4.1 条件设定
在此代码中，我们使用以下条件进行 SIR 模型模拟：
- 初始条件：
- 总人口数 (N)：21858000
- 初始感染者 (I₀)：170
- 初始恢复者 (R₀)：0
- 初始易感者 (S₀ = N - I₀ - R₀)：21857830
- 参数设定：
- 传播率 (β)：1.1
- 康复率 (γ)：0.25
- 时间设置：
- 模拟天数：160天
4.2 代码
# 导入必要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
# 设置中文字体（可选，适用于中文环境）
plt.rcParams['font.family'] = ['SimHei'] # 例如 'Microsoft YaHei'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 防止负号显示问题
# SIR模型微分方程
def sir_ode(t, y, N, beta, gamma):
S, I, R = y
dS = -beta * S * I / N
dI = beta * S * I / N - gamma * I
dR = gamma * I
return [dS, dI, dR]
# 参数设定
N = 21858000 # 总人口数
beta = 1.1 # 传播率
gamma = 0.25 # 康复率
I0 = 170 # 初始感染者人数
R0 = 0 # 初始恢复者人数
S0 = N - I0 - R0 # 初始易感者人数
y0 = [S0, I0, R0]
# 时间范围设置
t_start = 0 # 起始时间
t_end = 160 # 模拟天数
num_points = 160 # 时间点数量
t_eval = np.linspace(t_start, t_end, num_points)
# 求解微分方程
solution = solve_ivp(
sir_ode,
[t_start, t_end],
y0,
args=(N, beta, gamma),
t_eval=t_eval
)
# 检查求解是否成功
if solution.success:
S, I, R = solution.y
else:
raise RuntimeError("微分方程求解失败！")
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(solution.t, S, label='易感者 S', color='blue')
plt.plot(solution.t, I, label='感染者 I', color='red')
plt.plot(solution.t, R, label='恢复者 R', color='green')
plt.title(f'SIR 模型模拟结果 (β={beta}, γ={gamma}, N={N}, I0={I0}, R0={R0})')
plt.xlabel('天数')
plt.ylabel('人数')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
4.3 结果
运行以上代码后，可以观察到以下趋势：
- 易感者（S）：随着时间推移逐渐减少，因为被感染者转化。
- 感染者（E）：在初期逐渐增加，随后达到峰值并开始下降。
- 恢复者（I）：随着时间推移逐渐增加，因为感染者康复。
以下是模拟结果的可视化图表展示：
5 扩展
5.1 干预措施
在保持 SIR 模型的三个仓室（S, I, R）不变的情况下，可以通过以下方式模拟干预措施的效果：
5.1.1 隔离措施
通过降低传播率 β 来模拟隔离措施的实施。例如：
- 无隔离：初始 β = 1.1，模拟正常传播过程。
- 加入隔离措施：在第 t = 30 天时，引入隔离措施，将 β 从 1.1 降低到 0.7，以减少感染率。
5.1.2 接种疫苗
通过将一部分易感者 S 直接转化为恢复者 R，来模拟疫苗接种的效果。例如：
- 在 t = 50 天时，假设接种疫苗的易感者人数覆盖了 30% 的总人口，即：
$$ S = S - 0.3 \cdot N,\ R = R + 0.3 \cdot N $$
5.2 改变仓室流向
在保持仓室不变的基础上，可以调整参数或模型逻辑来模拟不同传播特性。例如：
5.2.1 动态传播率
传播率 β 可以是动态变化的，而非一个固定值。例如：
- 在最初阶段 β 较高，由于公众未采取防疫措施（如未佩戴口罩）。
- 随着疫情进展，政府实施控制措施，逐渐降低 β，可以表示为：
$$
\beta(t) = \begin{cases}
1.1 & t < 30 \
0.8 & 30 \leq t < 60 \
0.5 & t \geq 60
\end{cases}
$$
5.2.2 动态康复率
康复率 γ 可以动态变化。例如：
- 初始 γ = 0.25，医疗资源充足，患者康复速度较快。
- 当感染者激增，医疗资源不足，康复率下降为 γ = 0.15。
- 后期随着资源恢复，康复率逐渐回升。
5.3 示例扩展场景
以下是一些可能的扩展场景：
-
假设一：强制性防控措施
在疫情初期（例如 t = 20 天），通过强制性隔离大幅降低传播率 β，但未改变康复率 γ。 -
假设二：部分群体免疫
在疫情发展到一定阶段后，部分人群通过感染或接种疫苗获得免疫（等价于将一部分 S 转移到 R），从而降低后续感染人数。 -
假设三：周期性传播率变化
在一些季节性流行病（如流感）中，传播率 β 可以呈现周期性变化（例如夏季和冬季的传播率不同）。
通过这些扩展，虽然保持了原有的三个仓室结构，但可以更灵活地模拟实际疫情中的不同动态场景。