1 概述

该模型是基于SEIR-SEI的跨物种传播动力学模型。此案例将基于“人群-传播媒介”的传播路径，将模型分为两个主要部分：人群和传播媒介，模拟病毒在两部分之间的传播过程，并分别用下标p、m表示。

1.1 模型假设

在构建基于SEIR-SEI的跨物种传播动力学模型时，我们做出以下假设：

(1) 人群与媒介的划分：

模型将系统分为两个主要部分：人群和传播媒介（以下简称“媒介”）。人群和媒介之间的病毒传播是双向的，即病毒可以从媒介传播到人群，也可以从人群传播到媒介。

(2) 人群部分的假设：

人群被划分为四个状态：易感者（S_p）、暴露者（E_p）、感染者（I_p）和康复者（R_p）。
易感者是指尚未感染病毒的人类个体，暴露者是指已感染病毒但尚未表现出症状的人类个体，感染者是指已感染病毒并表现出症状的人类个体，康复者是指从感染中恢复并获得免疫力的人类个体。
病毒通过媒介叮咬传播给人类，传播系数为 β_mp。

(3) 媒介部分的假设：

媒介被划分为三个状态：易感媒介（S_m）、暴露媒介（E_m）和感染媒介（I_m）。
易感媒介是指尚未感染病毒的媒介个体，暴露媒介是指已感染病毒但尚未具有传染性的媒介个体，感染媒介是指已感染病毒并具有传染性的媒介个体。
病毒通过感染者的血液传播给媒介，传播系数为 β_pm。

(4) 传播动力学假设：

人群中的暴露者以速率 ω_p 转化为感染者，感染者以速率 γ 转化为康复者。
媒介中的暴露者以速率 ω_m 转化为感染媒介。
媒介的出生率为 a，死亡率为d ，且媒介种群数量受季节性参数 c 的影响。
媒介的垂直传播比例为 n ，即部分新生媒介可能直接成为感染媒介。

1.2 模型描述

人群部分：人群分为易感者（Sp）、暴露者（Ep）、感染者（Ip）和康复者（Rp）。易感者是指尚未感染病毒的人类个体，暴露者是指已感染病毒但尚未表现出症状的人类个体。感染者是指已感染病毒并表现出症状的人类个体，具有较强的传染能力。康复者是指从感染中恢复并获得免疫力的人类个体。传染途径主要是通过媒介叮咬传播。模型中，媒介向人类传播病毒的传播系数为βmp。
媒介部分：媒介分为易感媒介（Sm）、暴露媒介（Em）和感染媒介（Im）。易感媒介是指尚未感染病毒的媒介个体，暴露媒介是指已感染病毒但尚未具有传染性的媒介个体，感染媒介是指已感染病毒并具有传染性的媒介个体。传播机制方面，人类向媒介传播病毒的传播系数为βpm。

1.3 模型参数含义

参数符号	含义
β_mp	媒介对人群的传播系数
β_pm	人群对媒介的传播系数
ω_p	人群感染的潜伏期相对速率
ω_m	媒介感染的潜伏期相对速率
γ	感染者的移除相对速率
a	媒介的每日出生率
c	媒介种群的季节性参数
n	媒介的垂直传播比例
d	媒介的每日死亡率

2 模型流程图及方程

$$ \begin{cases} \frac{dS_p}{dt} = -\beta_{mp} \cdot \frac{S_p \cdot I_m}{N_p} \\
\frac{dE_p}{dt} = \beta_{mp} \cdot \frac{S_p \cdot I_m}{N_p} - \omega_p \cdot E_p \\
\frac{dI_p}{dt} = \omega_p \cdot E_p - \gamma \cdot I_p \\
\frac{dR_p}{dt} = \gamma \cdot I_p \\
\frac{dS_m}{dt} = a \cdot c_t \cdot (N_m - I_m) - \beta_{pm} \cdot \frac{S_m \cdot I_p}{N_p} - d \cdot S_m \\
\frac{dE_m}{dt} = \beta_{pm} \cdot \frac{S_m \cdot I_p}{N_p} - \omega_m \cdot E_m - d \cdot E_m \\
\frac{dI_m}{dt} = \omega_m \cdot E_m - d \cdot I_m \end{cases} $$

3 适用疾病流行条件

这个基于SEIR-SEI的跨物种传播动力学模型适用于描述通过媒介传播的疾病，特别是那些在人群和媒介之间双向传播的传染病。以下是该模型适用的疾病条件：

(1) 媒介传播的疾病：

疾病必须通过媒介（如蚊子、蜱虫等）在人群中传播。媒介作为病毒的中间宿主，能够在人群和媒介之间传播病原体。

(2) 双向传播机制：

疾病不仅可以通过媒介传播给人类，还可以通过感染者的血液或其他途径传播给媒介。这种双向传播机制是模型的核心假设之一。

(3) 潜伏期和传染期：

疾病在人群和媒介中都有明确的潜伏期和传染期。潜伏期是指从感染到出现症状的时间，传染期是指感染者能够传播病毒的时间。

(4) 媒介种群动态：

媒介的种群动态（如出生率、死亡率和季节性变化）对疾病的传播有显著影响。模型考虑了媒介的出生率、死亡率和季节性参数。

(5) 垂直传播：

疾病在媒介中可能存在垂直传播，即媒介的后代可以直接感染病毒。这种传播方式在模型中通过垂直传播比例 n 来体现。

适用于该模型的典型疾病包括登革热、疟疾等，这些疾病符合上述条件，并且通过媒介在人群中传播。

4 代码（Python）

4.1 条件设定

设置初始值
S_p0, E_p0, I_p0, R_p0 = 999, 0, 1, 0 # 人群
S_m0, E_m0, I_m0 = 4999, 0, 1 # 媒介

4.2 代码

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数
β_mp = 1.4  # 媒介对人群的传播系数
β_pm = 1.3  # 人群对媒介的传播系数
ω_p = 0.1   # 人群感染的潜伏期相对速率
ω_m = 0.1   # 媒介感染的潜伏期相对速率
γ = 0.1     # 感染者的移除相对速率
d = 0.07    # 媒介的每日死亡率
a = 0.07    # 媒介的每日出生率
c0 = 0.1    # 季节性参数
A = 0.5     # 季节性参数幅度
T = 365     # 周期

# 初始条件
S_p0, E_p0, I_p0, R_p0 = 999, 0, 1, 0  # 人群
S_m0, E_m0, I_m0 = 4999, 0, 1         # 媒介

# 定义季节性函数 c(t)
def seasonal_c(t, c0, A, T):
    return c0 * (1 + A * np.sin(2 * np.pi * t / T))

# 定义微分方程组
def dengue_model_seasonal(y, t, β_mp, β_pm, ω_p, ω_m, γ, d, a, c0, A, T):
    S_p, E_p, I_p, R_p, S_m, E_m, I_m = y
    N_p = S_p + E_p + I_p + R_p  # 总人群人口
    N_m = S_m + E_m + I_m        # 总媒介人口
    c_t = seasonal_c(t, c0, A, T)  # 季节性参数
    # 人群方程
    dS_p = -β_mp * S_p * I_m / N_p
    dE_p = β_mp * S_p * I_m / N_p - ω_p * E_p
    dI_p = ω_p * E_p - γ * I_p
    dR_p = γ * I_p
    # 媒介方程
    dS_m = a * c_t * (N_m - I_m) - β_pm * S_m * I_p / N_p - d * S_m
    dE_m = β_pm * S_m * I_p / N_p - ω_m * E_m - d * E_m
    dI_m = ω_m * E_m - d * I_m
    return [dS_p, dE_p, dI_p, dR_p, dS_m, dE_m, dI_m]

# 初始条件向量
y0 = [S_p0, E_p0, I_p0, R_p0, S_m0, E_m0, I_m0]

# 时间点（以天为单位）
t = np.linspace(0, 365, 365)  # 模拟1年

# 求解微分方程
result = odeint(dengue_model_seasonal, y0, t, args=(β_mp, β_pm, ω_p, ω_m, γ, d, a, c0, A, T))
S_p, E_p, I_p, R_p, S_m, E_m, I_m = result.T

4.3 结果

plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.plot(t, S_p, label='Susceptible Humans (S_p)', color='blue')
plt.plot(t, E_p, label='Exposed Humans (E_p)', color='orange')
plt.plot(t, I_p, label='Infectious Humans (I_p)', color='red')
plt.plot(t, R_p, label='Recovered Humans (R_p)', color='green')
plt.xlabel('Time (days)')
plt.ylabel('Population')
plt.title('SEIR_SEI Model Simulation')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

4.4 结果分析

结果图展示了SEIR_SEI传播动力学模型在1年（365天）内的模拟结果，分为以下四个群体：

S_p（易感人群）：易感人群在早期迅速减少，表明大部分人群暴露于疾病，并开始感染。
E_p（暴露人群）：暴露人群在早期迅速增加，并在约第20天达到峰值，随后开始减少，表明暴露者向感染者转变。
I_p（感染人群）：感染者数量在暴露人群达到峰值后继续增加，并在约第30天达到峰值，随后逐渐减少，说明感染者开始康复或移除。
R_p（康复人群）：康复人群从零开始逐渐增加，并在第80天后趋于稳定，表明大部分人群最终进入康复状态。

从整体趋势可以看出，该模型成功模拟了疾病传播的动态过程，包括易感人群的减少、暴露人群和感染人群的逐渐增加与下降，以及康复人群的最终稳定。这表明疾病传播高峰在早期迅速达到，随后逐渐恢复。

5 扩展

为了更全面地描述疾病传播过程并评估干预措施的效果，可以在现有SEIR-SEI模型的基础上进行扩展。以下是几种扩展方向：

5.1 加入干预措施

干预措施是控制疾病传播的重要手段。可以在模型中引入以下干预措施：

疫苗接种：
- 在人群部分加入疫苗接种仓室 ( V_p )，假设疫苗接种可以使人从易感者 ( S_p ) 直接转移到免疫状态 ( V_p )。
- 修改人群部分的方程： $$ \frac{dS_p}{dt} = -\beta_{mp} \frac{S_p I_m}{N_m} - v S_p $$ $$ \frac{dV_p}{dt} = v S_p $$
  
  其中，( v ) 是疫苗接种率。
媒介控制：
- 引入媒介控制措施（如杀虫剂使用、环境管理等），降低媒介的出生率或增加媒介的死亡率。
- 修改媒介部分的方程： $$ \frac{dS_m}{dt} = a c_t (N_m - I_m) - \beta_{pm} \frac{S_m I_p}{N_h} - (d + u) S_m $$ 其中，( u ) 是媒介控制措施导致的额外死亡率。
隔离和治疗：
- 在人群部分加入隔离仓室 ( Q_p )，假设感染者 ( I_p ) 可以通过隔离措施转移到 ( Q_p )。
- 修改人群部分的方程： $$ \frac{dI_p}{dt} = \omega_p E_p - \gamma I_p - q I_p $$ $$ \frac{dQ_p}{dt} = q I_p - \gamma Q_p $$ 其中，( q )是隔离率。

5.2 改变仓室流向

可以通过改变仓室之间的流向来模拟不同的疾病传播机制：

再感染：
- 假设康复者 ( R_p ) 可能会再次感染病毒，重新成为易感者 ( S_p )。
- 修改人群部分的方程： $$ \frac{dR_p}{dt} = \gamma I_p - \sigma R_p $$ $$ \frac{dS_p}{dt} = -\beta_{mp} \frac{S_p I_m}{N_m} + \sigma R_p $$ 其中，( σ ) 是再感染率。

5.3 考虑空间异质性

空间分层：
- 将人群和媒介划分为不同的地理区域，考虑区域之间的迁移和传播。
- 引入迁移率 ( m ) 来描述人群和媒介在不同区域之间的移动。
网络模型：
- 使用网络模型描述人群和媒介之间的接触模式，考虑不同个体之间的接触频率和传播概率。

SEIR-SEI模型