SIRS模型

使用Python实现SIRS模型，模拟流行病传播过程

赵虹锋

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SIRS模型

1 概述

SIRS模型（易感-感染-恢复-易感模型）是一种经典的传染病模型，用于描述疾病在一个固定人群中传播、康复并失去免疫力后重新成为易感者的过程。与SIR模型不同，SIRS模型考虑了免疫衰减的因素，使得个体在恢复后可能会失去免疫力，重新回到易感状态。这种模型适用于那些感染后获得的免疫力不是永久的疾病，如某些流感病毒株。

1.1 模型假设

SIRS模型基于以下几个基本假设：

  1. 固定人群规模：总人口数 ( N ) 保持不变，不考虑出生、死亡和迁移。
  2. 同质混合：人群中每个人都有相同的概率与其他任何个体接触。
  3. 瞬时接触：传染过程发生在接触时，不考虑接触的持续时间。
  4. 易感、感染与恢复状态：个体只能处于易感（S）、感染（I）或恢复（R）三种状态。
  5. 有限免疫力：恢复者在一段时间后可能会失去免疫力，重新回到易感状态。
  6. 恒定参数：传播率β、康复率γ和免疫衰减速率k在整个过程中保持不变。

1.2 模型描述

SIRS模型通过一组常微分方程（ODE）来描述易感者、感染者和恢复者人数随时间的变化：

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta\frac{SI}{N} + kR \\
\frac{dI}{dt} = \beta\frac{SI}{N} - \gamma I \\
\frac{dR}{dt} = \gamma I - kR \end{cases} $$

其中：

1.3 模型仓室及参数含义

参数 含义
N 总人口数
β 传播率，疾病传播的速率
γ 康复率，感染者康复的速率
k 免疫衰减速率，恢复者失去免疫力的速率
S 易感者数量
I 感染者数量
R 恢复者数量

2 模型流程图及方程

2.1 模型流程图

以下是SIRS模型的流程图，展示了易感者、感染者和恢复者之间的转化过程：

SIRS模型流程图

2.2 模型方程

SIRS模型的核心在于描述易感者、感染者和恢复者数量随时间的变化，其数学表达式如下：

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N} + k R \\
\frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I \\
\frac{dR}{dt} = \gamma I - k R \end{cases} $$

3 适用疾病流行条件

SIRS模型适用于以下类型的传染病流行条件：

  1. 有限免疫力：疾病感染后，个体获得的免疫力不是永久的，康复后可能会失去免疫力，重新成为易感者。例如，某些流感病毒株、麻疹等。
  2. 固定人群规模：总人口数在模型的时间范围内保持相对稳定，不考虑出生、死亡和人口迁移的影响。
  3. 同质混合：假设人群中的个体随机接触，没有特定的群体结构或网络限制。
  4. 适度康复时间：疾病的康复时间适中，个体能够在康复后保持一段时间的免疫力。
  5. 简单传播途径：疾病的传播方式较为直接，如通过呼吸道、直接接触等。

在这些条件下，SIRS模型能够有效地描述疾病的传播动态，并为公共卫生决策提供参考。

4 代码（Python）

本节将详细展示如何使用Python实现SIRS模型，包括条件设定、代码实现以及结果分析。

4.1 条件设定

在进行模型模拟前，需要设定以下条件和参数：

具体参数设定如下：

4.2 代码

以下Python代码实现了SIRS模型的模拟过程，并生成易感者、感染者和恢复者人数随时间变化的图表。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.family'] = ['SimHei']  # 或者 'Microsoft YaHei'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# SIRS模型微分方程
def sirs_ode(t, y, N, beta, gamma, k):
    S, I, R = y  # 易感者、感染者和恢复者数量
    dS = -beta * S * I / N + k * R  # 易感者的变化
    dI = beta * S * I / N - gamma * I  # 感染者的变化
    dR = gamma * I - k * R           # 恢复者的变化
    return [dS, dI, dR]

# 参数设置
N = 21858000  # 总人口数
beta = 1.1    # 传播率
gamma = 0.25  # 康复率
k = 0.01      # 免疫衰减速率
I0 = 170      # 初始感染人数
R0 = 0        # 初始恢复人数

# 计算初始的易感者数量
S0 = N - I0 - R0
y0 = [S0, I0, R0]

# 时间点设置
t_start = 0         # 模拟开始天数
t_end = 160         # 模拟结束天数
num_points = 160    # 时间点数量
t_eval = np.linspace(t_start, t_end, num_points)

# 求解微分方程
solution = solve_ivp(
    sirs_ode,
    [t_start, t_end],
    y0,
    args=(N, beta, gamma, k),
    t_eval=t_eval
)

# 检查求解是否成功
if solution.success:
    S, I, R = solution.y
else:
    raise RuntimeError("微分方程求解失败！")

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(solution.t, S, label='易感者 S', color='blue')
plt.plot(solution.t, I, label='感染者 I', color='red')
plt.plot(solution.t, R, label='恢复者 R', color='green')
plt.title(f'SIRS 模型模拟结果 (β={beta}, γ={gamma}, k={k}, N={N}, I0={I0}, R0={R0})')
plt.xlabel('天数')
plt.ylabel('人数')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

4.2 结果

运行上述代码后，得到如下模拟结果：

SIRS模型模拟结果

图表解释：

从图中可以观察到：

这些结果表明，在SIRS模型下，疾病在群体中会反复出现，并维持在一个相对稳定的感染水平。免疫衰减是导致疾病能够持续存在的关键因素。

关键观察点

  1. 传播与康复的平衡：当传播率 β、康复率 γ 和免疫衰减速率 k 达到一定平衡时，感染者人数进入动态平衡。

  2. 免疫衰减的影响：免疫衰减速率 k 的存在使得恢复者能够重新成为易感者，导致疾病可能长期存在于群体中。

  3. 模型的敏感性：通过调整 β、γ 和 k 的值，可以显著改变感染者、易感者和恢复者的动态变化，反映出模型对这些参数的高度敏感性。

进一步分析

通过这些结果，我们可以更好地理解疾病在群体中的传播机制，以及不同参数对疾病动态的影响，为公共卫生决策提供科学依据。

5 扩展（保证仓室不变）

在实际应用中，传染病的传播过程可能会受到各种干预措施的影响。为了进一步提高模型的现实性，可以在SIRS模型的基础上进行扩展，加入干预措施或改变状态流向。以下是一些可能的扩展方向：

5.1 加入干预措施

5.1.1 隔离措施

引入隔离状态（Q），将一部分感染者隔离，减少他们与易感者的接触机会，从而降低传播率。

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N} + k R \\
\frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - (\gamma + \delta) I \\
\frac{dQ}{dt} = \delta I \end{cases} $$

其中：

5.1.2 疫苗接种

引入疫苗接种，将一部分易感者转化为恢复者（R），从而减少易感者数量。

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N} - \nu S + k R \\
\frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I \\
\frac{dR}{dt} = \gamma I + \nu S - k R \end{cases} $$

其中：

5.2 改变状态流向

5.2.1 考虑潜伏期

引入潜伏者状态（E），即个体在感染后有一段时间处于潜伏期，尚未具有传染性。

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N} \\
\frac{dE}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \sigma E \\
\frac{dI}{dt} = \sigma E - \gamma I \\
\frac{dR}{dt} = \gamma I - k R \end{cases} $$

其中：

5.2.2 多阶段感染

将感染者分为轻度感染和重度感染，分别对应不同的传播率和康复率。

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta_L \frac{SI_L}{N} - \beta_H \frac{SI_H}{N} + kR \\
\frac{dI_L}{dt} = \beta_L \frac{SI_L}{N} - \gamma_L I_L \\
\frac{dI_H}{dt} = \beta_H \frac{SI_H}{N} - \gamma_H I_H \\
\frac{dR}{dt} = \gamma_L I_L + \gamma_H I_H - kR \end{cases} $$

其中：

5.3 其他扩展方向

除了疫苗接种和隔离措施外，还可以考虑以下扩展，以进一步提高模型的现实性和应用范围：

5.3.1 人口流动

描述：考虑不同地区之间的人口迁移，模拟疾病在多个区域的传播。

实现方法：

应用示例：

5.3.2 年龄结构

描述：引入年龄分层，不同年龄组的传播率和康复率可能不同。

实现方法：

应用示例：

5.3.3 接触网络

描述：不再假设同质混合，采用复杂的接触网络模型，更真实地反映人群互动结构。

实现方法：

应用示例：

5.3.4 季节性因素

描述：考虑季节变化对传播率的影响，如流感在冬季传播更为严重。

实现方法：

应用示例：

5.3.5 多病原体竞争

描述：在同一人群中模拟多种病原体的竞争与共存，研究不同疾病之间的相互影响。

实现方法：

应用示例：

5.3.6 环境传播

描述：考虑疾病通过环境媒介（如水源、空气）传播，增加模型的复杂性和现实性。

实现方法：

应用示例：

5.3.7 经济与社会因素

描述：将经济和社会因素纳入模型，研究其对疾病传播和控制的影响。

实现方法：

应用示例：

通过这些扩展，传染病模型能够更全面地反映现实世界中的复杂因素，提供更精准的预测和有效的干预策略支持，为公共卫生决策者提供更有力的科学依据。

赵虹锋
壮汉二米五