基本介绍

SIR模型是一种经典的传染病传播模型，其中S代表易感个体（Susceptible），I代表感染个体（Infected），R代表恢复个体（Recovered）。SIR模型的基本原理是，通过一定的传播速率和恢复速率来描述易感个体被感染，以及感染个体恢复的过程。

SIR模型仿真

SIR模型（易感-感染-恢复模型）用于描述传染病在群体中的传播过程。在该模型中，人口分为三类个体：

易感者(S)：尚未感染但易感的个体。
感染者(I)：已经感染并能够传播疾病的个体。
恢复者(R)：已经从疾病中恢复并获得免疫力的个体。

模型方程

SIR模型的核心方程为：

易感者变化：dS/dt = -β * S * I
感染者变化：dI/dt = β * S * I - γ * I
恢复者变化：dR/dt = γ * I

其中：

β 是传染率，控制感染者向易感者传播病毒的速度。
γ 是恢复率，控制感染者恢复并转为恢复者的速度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义SIR模型的函数
def sir_model(S, I, R, beta, gamma, dt=1):
    """
    SIR模型的计算函数。
    
    参数:
    S: 当前易感者人数
    I: 当前感染者人数
    R: 当前恢复者人数
    beta: 传染率 (感染者每人每日传播的概率)
    gamma: 恢复率 (感染者每日恢复的概率)
    dt: 时间步长，默认值为1
    
    返回:
    更新后的S, I, R
    """
    # 计算感染者传播给易感者的数量
    new_infected = beta * S * I * dt
    # 计算恢复者的数量
    new_recovered = gamma * I * dt
    
    # 更新易感者、感染者和恢复者人数
    S -= new_infected
    I += new_infected - new_recovered
    R += new_recovered
    
    return S, I, R

模拟过程

在本模型中，我们使用了以下初始条件：

易感者初始比例：99%
感染者初始比例：1%
恢复者初始比例：0%

传染率 β 设置为 0.3，恢复率 γ 设置为 0.1，模拟天数为 160天。

# 初始参数设置
S0 = 0.99  # 初始时易感者比例
I0 = 0.01  # 初始时感染者比例
R0 = 0.0   # 初始时恢复者比例
beta = 0.3 # 传染率
gamma = 0.1 # 恢复率
T = 160    # 模拟天数

# 初始化变量
S = S0
I = I0
R = R0
time_steps = np.arange(0, T)

# 存储每个时间步的S, I, R值
S_vals = []
I_vals = []
R_vals = []

# 运行SIR模型
for t in time_steps:
    S_vals.append(S)
    I_vals.append(I)
    R_vals.append(R)
    
    S, I, R = sir_model(S, I, R, beta, gamma)

结果可视化

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(time_steps, S_vals, label="Susceptible (S)", color="blue")
plt.plot(time_steps, I_vals, label="Infected (I)", color="red")
plt.plot(time_steps, R_vals, label="Recovered (R)", color="green")
plt.xlabel("Time (days)")
plt.ylabel("Proportion of population")
plt.title("SIR Model Simulation")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

png

结果分析

通过仿真结果，可以观察到随着时间的推移，感染者比例会先急剧上升，之后由于恢复者的增加，感染者数量逐渐减少。恢复者的比例会不断上升，而易感者比例会不断下降。

SIR模型